Matemática

Tava eu agora estudando Multiplicadores de Lagrange pra prova de cálculo amanhã quando em deparo com o seguinte problema:

Encontre 2 números positivos que multiplicados resultem 25 e cuja soma seja a menor possível.

Na primeira olhada pareceu estranho e a resposta me saltou a mente (5 e 5), resolvi resolver por Lagrange pra ver como era e todo sentido da matéria se fez compreendido.
Observem a resolução.

f(x,y) = x+y -> esse valor nós queremos minimizar.
o vínculo é x.y = 25, ou seja, x+y deve ser minimizado desde que x.y seja igual a 25.

Assim,




[Explicação: multiplica-se a equação vínculo por lambda para se obter a terceira variável.]

Fazendo as três derivadas parciais:











Isolando-se lambda nas duas primeiras equações:







[Considera-se as derivadas parciais iguais a zero, pois é um problema de máximos e mínimos.]

Temos portanto:




Que é equivalente a x=y

Voltamos à derivada parcial de lambda e lá substituimos y pelo valor encontrado (y=x).




Como procuramos máximos e mínimos a derivada deve ser zero, encontramos então x = 5 (o valor negativo é desconsiderado já que o problema pede números positivos).

Como x=y temos o conjunto solução (5,5).


Lindo, não?

|